Consider the Vandermonde matrix
\[ V ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) = \left[ \begin{array} { c c c c c } { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { . . . } } & { { 1 } } \\ { { x _ { 1 } } } & { { x _ { 2 } } } & { { x _ { 3 } } } & { { . . . } } & { { x _ { n } } } \\ { { x _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { x _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { x _ { 3 } ^ { 2 } } } & { { . . . } } & { { x _ { n } ^ { 2 } } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { x _ { 1 } ^ { n - 1 } } } & { { x _ { 2 } ^ { n - 1 } } } & { { x _ { 3 } ^ { n - 1 } } } & { { . . . } } & { { x _ { n } ^ { n - 1 } } } \end{array} \right] .\tag{4} \]
Calculate det \(V ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } )\)
Show that det \(V ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) = 0\) if and only if \(x _ { i } = x _ { j }\) for some \(i \neq j\)