Consider the Wronskian
\[ W _ { x } ( y _ { 1 } , . . . , y _ { n } ) = \operatorname * { d e t } \left[ \begin{array} { c c c c c c } { y _ { 1 } } & { y _ { 2 } } & { y _ { 3 } } & { . . . } & { y _ { n } } \\ { y _ { 1 } ^ { \prime } } & { y _ { 2 } ^ { \prime } } & { y _ { 3 } ^ { \prime } } & { . . . } & { y _ { n } ^ { \prime } } \\ { y _ { 1 } ^ { \prime \prime } } & { y _ { 2 } ^ { \prime \prime } } & { y _ { 3 } ^ { \prime \prime } } & { . . . } & { y _ { n } ^ { \prime \prime } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { y _ { 1 } ^ { ( n - 1 ) } } & { y _ { 2 } ^ { ( n - 1 ) } } & { y _ { 3 } ^ { ( n - 1 ) } } & { . . . } & { y _ { n } ^ { ( n - 1 ) } } \end{array} \right] ,\tag{5} \]
where \(y _ { 1 } , . . . , y _ { n }\) are \(C ^ { n - 1 }\) functions of x.
Let \(y _ { 1 }\) and \(y _ { 2 }\) be two solutions of the differential equation \(y ^ { \prime \prime } - a y ^ { \prime } - b y = 0\) where a and b are some known functions of x. Find an expression for the Wronskian \(W _ { x } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } )\) depending on a and b. Then, show that if one of the solutions, say, \(y _ { 1 }\) , is known, then another can be found from the first order equation \(y _ { 1 } ^ { \prime } - { \frac { y _ { 2 } ^ { \prime } } { y _ { 2 } } } y _ { 1 } + { \frac { W _ { x } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) } { y _ { 2 } } } = 0\)
Show that under change of variable \(x \to t ( x )\) the Wronskian transforms as follows,
\[ W _ { x } ( y _ { 1 } , . . . , y _ { n } ) = \left( \frac { d t } { d x } \right) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } W _ { t } ( y _ { 1 } , . . . , y _ { n } ) .\tag{6} \]
- Show that \(W _ { x } ( y y _ { 1 } , . . . , y y _ { n } ) = y ^ { n } W _ { x } ( y _ { 1 } , . . . , y _ { n } )\) , where y is some \(C ^ { n - 1 }\) function.